esistono cose vere ma non dimostrabili?

[Cuordy]

Paul C. W. Davies (n. 1946) Cosa è il teorema di incompletezza di Gödel?
Nonostante la sua superficiale plausibilità, l'interpretazione formalista della matematica ricevette un duro colpo nel 1931. In quegli anni il matematico e logico di Princeton Kurt Gödel dimostrò un teorema fondamentale secondo cui esistevano enunciati matematici di cui nessuna procedura sistematica poteva determinare la verità o la falsità. Questo teorema non lasciava vie d'uscita, perché forniva una dimostrazione irrefutabile che determinate cose, in matematica, sono realmente impossibili, persino in linea di principio. Il fatto che esistano proposizioni indecidibili in matematica provocò un grosso trauma perché sembrava minare gli stessi fondamenti logici della disciplina.

Il teorema di Gödel sorge da una costellazione di paradossi che circondano l'autoreferenzialità. Consideriamo, come semplice introduzione a questo argomento ingarbugliato, la sconcertante frase: «La presente proposizione è una bugia». Se la proposizione è vera, allora è falsa; e se è falsa, allora è vera. Questi paradossi dell'autoreferenzialità possono essere costruiti facilmente e sono profondamente interessanti; hanno confuso le persone per secoli. Una formulazione medioevale dello stesso dilemma è la seguente:

Socrate: «Ciò che Platone sta per dire è falso».

Platone: «Quello che Socrate ha appena detto è vero».

Il grande matematico e filosofo Bertrand Russell dimostrò che l'esistenza di tali paradossi colpisce al cuore la logica e mina qualunque tentativo diretto di costruire la matematica rigorosamente su un fondamento logico. Gödel adattò alla matematica queste difficoltà insite nel concetto di autoreferenzialità in modo brillante e insolito. Considerò la relazione fra la descrizione della matematica e la matematica stessa. Questa è abbastanza semplice da enunciare, ma richiede un'argomentazione lunga e molto intricata. Per farsi un'idea, si può immaginare di elencare le proposizioni matematiche etichettandole con 1,2,3... Combinare una sequenza di proposizioni in un teorema corrisponde dunque a combinare i numeri naturali che costituiscono le loro etichette. In questo modo le operazioni logiche sulla matematica possono essere fatte corrispondere alle proposizioni matematiche stesse. È questa l'essenza del carattere autoreferenziale della dimostrazione di Gödel. Identificando il soggetto con l'oggetto – proiettando la descrizione della matematica sulla matematica stessa – egli scoprì un paradossale circolo russelliano che conduceva direttamente all'inevitabilità di proposizioni indecidibili. John Barrow ha osservato di sfuggita che se una religione viene definita come un sistema di pensiero che richiede una fede in verità indimostrabili, allora la matematica è la sola religione che può dimostrare di essere tale.

L'idea chiave del teorema di Gödel può essere spiegata con l'aiuto di una storiella. In un paese lontano un gruppo di matematici che non avevano mai sentito parlare di Gödel si convinse che esisteva davvero una procedura sistematica per determinare infallibilmente la verità o falsità di qualunque proposizione sensata, e si propose di dimostrarlo. La loro procedura poteva essere eseguita da una persona, o da un gruppo di persone, o da una macchina, o da qualsiasi combinazione di queste tre possibilità. Nessuno sapeva con certezza quale combinazione avessero scelto i matematici, perché il sistema era situato in un grande edificio universitario, piuttosto simile a un tempio, e l'ingresso era vietato al pubblico. Comunque, il sistema venne chiamato Tom. Per controllare l'abilità di Tom gli venivano sottoposte complesse asserzioni logiche e matematiche di ogni tipo e, dopo il tempo necessario per l'elaborazione, arrivavano puntualmente le risposte: vero, vero, falso, vero, falso... Dopo non molto la fama di Tom si diffuse in tutto il paese. In molti venivano a visitare il laboratorio e aguzzavano sempre di più l'ingegno per formulare problemi sempre più difficili nel tentativo di mettere in difficoltà il sistema. Nessuno ci riuscì. La fiducia dei matematici nell'infallibilità di Tom crebbe a tal punto che persuasero il loro re a offrire un premio a chiunque riuscisse a sconfiggere il suo incredibile potere analitico. Un giorno, un viaggiatore che veniva da un altro paese giunse all'università con una busta e chiese di sfidare Tom. Nella busta c'era un pezzo di carta con una proposizione da sottoporgli. La proposizione, che possiamo indicare con «P» («P» sta per «proposizione» o per «paradosso»), diceva semplicemente: «Tom non può dimostrare che questa proposizione è vera».

P venne sottoposta a Tom. Erano passati appena pochi secondi che il sistema entrò in preda a una specie di convulsione. Dopo mezzo minuto un tecnico giunse correndo dal laboratorio con la notizia che Tom era stato disattivato a causa di problemi tecnici. Che cosa era accaduto? Supponiamo che Tom dovesse arrivare alla conclusione che P è vera. Questo significherebbe che la proposizione «Tom non può dimostrare che questa proposizione è vera» sarebbe stata falsificata. Ma se P è falsificata, non può essere vera. Così se Tom risponde «vero» a P, avrà raggiunto una conclusione falsa, contraddicendo la sua vantata infallibilità. Dunque Tom non può rispondere «vero». Siamo dunque giunti alla conclusione che P è effettivamente vera. Ma nel giungere a questa conclusione abbiamo dimostrato che Tom non può giungere a questa conclusione. Questo significa che noi conosciamo la verità di una proposizione che Tom non può dimostrare. Questa è l'essenza della dimostrazione di Gödel: che esisteranno sempre certe proposizioni vere che non possono essere dimostrate. Il viaggiatore, naturalmente, lo sapeva e non ebbe alcuna difficoltà a costruire P e intascare il premio.

È importante, tuttavia, rendersi conto del fatto che le limitazioni messe in luce dal teorema di Gödel riguardano lo stesso metodo assiomatico di dimostrazione logica, e non una proprietà delle proposizioni che si cerca di dimostrare (o di refutare). Si può sempre trasformare una proposizione vera che è indimostrabile all'interno di un dato sistema di assiomi in un assioma di qualche sistema esteso. Ma allora ci saranno altre proposizioni indimostrabili in questo sistema esteso, e così via.

Il teorema di Gödel fu una devastante battuta d'arresto per il programma formalista, ma l'idea di una procedura meccanica per indagare le proposizioni matematiche non venne abbandonata completamente. Forse le proposizioni indecidibili sono solo stranezze che possono essere eliminate dalla logica e dalla matematica? Se si trovasse un modo per distinguere le proposizioni decidibili da quelle indecidibili, allora determinare se una qualsiasi proposizione appartenente al primo gruppo sia vera o falsa potrebbe pur sempre essere fattibile. Ma è possibile formulare una procedura sistematica per riconoscere in modo infallibile le proposizioni indecidibili ed eliminarle? La sfida venne raccolta da Alonzo Church, un collaboratore di von Neumann a Princeton, il quale dimostrò presto che persino questa meta più modesta era irraggiungibile, almeno in un numero finito di passi. In altri termini: si potrebbero fare asserzioni matematiche potenzialmente vere o false, e si potrebbe intraprendere una procedura sistematica per controllare la loro verità o falsità, ma questa procedura non avrebbe mai termine: il risultato non potrebbe mai essere conosciuto.

da Paul Davies, La mente di Dio , trad. it. M. D'Agostino e A. Gulotta, Mondadori, Milano 1993, pp. 117-121.


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[blackgin]

Non esistono cose vere. Probabilmente.

[Platone]

Qualche considerazione, così di sfuggita..

I paradossi della logica di Russell e Cantor sono il prodotto coerente di una incoerenza di fondo..di un'incoerenza semantica intendo..in questa sezione dovrebbe esserci un thread in cui ho discusso con testadiprazzo i motivi che hanno condotto a tali aporie..

Il teorema di Godel non sfugge a sua volta alle critiche, anche se non pretendo certo di poter esaurire un argomento del genere qui e ora: Godel infatti, riferendosi al linguaggio che è costituito dai Principia Mathematica ( d'ora in poi, PM), intende elaborare un metodo per esprimere all'interno del linguaggio di PM la dimensione metamatematica (metateorica, linguistica), cioè intende assorbire i concetti metamatematici nelle proposizioni matematiche. Le considerazioni metamatematiche sono cioè il riferimento stesso a PM, riferimento che, d'altra parte, non è in grado di esibire la propria incontrovertibilità, cioè è fede, interpretazione, decisione..
Godel intende certo dimostrare che in P è indimostrabile l'incoerenza (l'incontraddittorietà) di P, ossia dell'unità di PM e degli assiomi di Peano. La metamatematica è cioè il fondamento del rilevamento dell'indecidibilità di una proposizione in PM, ma la logica della metamatematica è la logica del senso comune, del "linguaggio naturale", che d'altra parte non è in grado di esibire la propria innegabilità..e sarebbe da aggiungere, en passant, che, non sapendolo fare, è im-mediatamente contraddizione..ma qui dovrei introdurre Severino..dunque lasciamo stare..
Cosa significa concretamente tutto ciò? Che viene sottintesa la non contraddittorietà dei segni fondamentali (costanti, variabili, connettivi) del sistema formale..cioè? Cioè si sottintende che ognuno di questi segni sia se stesso e che non abbia altro positivo significare..per esempio che il connettivo di disgiunzione o unione non sia l'altro..si presuppone ciò..da questo dipende l'intero andamento del sistema ovviamente e (aggiungo) banalmente. Sottintesi, questi, che valgono anche per ogni altra forma di sapere scientifico e non scientifico, ma questi sottintesi sono a loro volta fedi, volontà (volontà e fede che qualcosa sia il non-altro da sé), il rifiuto dell'opposto è appunto fede, cioè ci troviamo in una situazione di equipotenza in cui la decisione per l'una o l'altra via è convenzionale. Attribuendo ad una via e non ad un altra l'incontrovertibilità (senza per altro poterla mostrare) Godel tratta l'equipotenza come non-equipotenza, affermando e negando sub eodem tale equipotenza.
Uno sguardo ulteriore: la proposizione che un segno "^" sia quel segno (appunto, "^") può essere espressa dicendo che se P è un certo segno allora P è quel segno, P contiene sè stesso. Ora, l'affermazione che una costante è segno di P può appartenere al fondamento di P solo se la medesima è unita alla negazione della propria negazione, cioè solo se P contiene sè stesso, cioè l'indicazione dei segni fondamentali di P (di una proposizione) presuppone i principi (identità, non contraddizione, terzo escluso) che sono dimostrati a partire da quella indicazione, cioè sulla base di essa, classico esempio di circolo vizioso. Separato dalla propria identità con sè (dal proprio significare sé stesso) ogni segno non può escludere il manfiestarsi della propria negazione. I risultati di matematica e scienze esatte (che dalla matematica sono guidate) si costituiscono, sviluppano, manifestano all'interno e a partire dalla contraddizione, accompagnati dalla fede che essa non sia tale. Attribuire volontariamente e convenzionalmente un segno ad un contenuto è volontà di potenza, cioè volontà che qualcosa sia altro da ciò che è..
Il calcolo matematico, nominando l'ente come esser 1, non si limita a distinguerlo da tutto il resto, ma lo separa, cioè tratta il resto come se fosse nulla, non influisse. La logica della matematica è la logica dell'isolamento semantico, cioè della contraddizione, perchè le cose in quanto relazionate al proprio altro non lo sono in quanto separate. Producendo l'esser 1 da parte di un singolo ente, prescindendo dalle sue caratteristiche, il calcolo matematico lo fa diventare altro da ciò che è.

[Aganto]

Paul C. W. Davies (n. 1946) Cosa è il teorema di incompletezza di Gödel?
Nonostante la sua superficiale plausibilità, l'interpretazione formalista della matematica ricevette un duro colpo nel 1931. In quegli anni il matematico e logico di Princeton Kurt Gödel dimostrò un teorema fondamentale secondo cui esistevano enunciati matematici di cui nessuna procedura sistematica poteva determinare la verità o la falsità. Questo teorema non lasciava vie d'uscita, perché forniva una dimostrazione irrefutabile che determinate cose, in matematica, sono realmente impossibili, persino in linea di principio. Il fatto che esistano proposizioni indecidibili in matematica provocò un grosso trauma perché sembrava minare gli stessi fondamenti logici della disciplina.

Il teorema di Gödel sorge da una costellazione di paradossi che circondano l'autoreferenzialità. Consideriamo, come semplice introduzione a questo argomento ingarbugliato, la sconcertante frase: «La presente proposizione è una bugia». Se la proposizione è vera, allora è falsa; e se è falsa, allora è vera. Questi paradossi dell'autoreferenzialità possono essere costruiti facilmente e sono profondamente interessanti; hanno confuso le persone per secoli. Una formulazione medioevale dello stesso dilemma è la seguente:

Socrate: «Ciò che Platone sta per dire è falso».

Platone: «Quello che Socrate ha appena detto è vero».

Il grande matematico e filosofo Bertrand Russell dimostrò che l'esistenza di tali paradossi colpisce al cuore la logica e mina qualunque tentativo diretto di costruire la matematica rigorosamente su un fondamento logico. Gödel adattò alla matematica queste difficoltà insite nel concetto di autoreferenzialità in modo brillante e insolito. Considerò la relazione fra la descrizione della matematica e la matematica stessa. Questa è abbastanza semplice da enunciare, ma richiede un'argomentazione lunga e molto intricata. Per farsi un'idea, si può immaginare di elencare le proposizioni matematiche etichettandole con 1,2,3... Combinare una sequenza di proposizioni in un teorema corrisponde dunque a combinare i numeri naturali che costituiscono le loro etichette. In questo modo le operazioni logiche sulla matematica possono essere fatte corrispondere alle proposizioni matematiche stesse. È questa l'essenza del carattere autoreferenziale della dimostrazione di Gödel. Identificando il soggetto con l'oggetto – proiettando la descrizione della matematica sulla matematica stessa – egli scoprì un paradossale circolo russelliano che conduceva direttamente all'inevitabilità di proposizioni indecidibili. John Barrow ha osservato di sfuggita che se una religione viene definita come un sistema di pensiero che richiede una fede in verità indimostrabili, allora la matematica è la sola religione che può dimostrare di essere tale.

L'idea chiave del teorema di Gödel può essere spiegata con l'aiuto di una storiella. In un paese lontano un gruppo di matematici che non avevano mai sentito parlare di Gödel si convinse che esisteva davvero una procedura sistematica per determinare infallibilmente la verità o falsità di qualunque proposizione sensata, e si propose di dimostrarlo. La loro procedura poteva essere eseguita da una persona, o da un gruppo di persone, o da una macchina, o da qualsiasi combinazione di queste tre possibilità. Nessuno sapeva con certezza quale combinazione avessero scelto i matematici, perché il sistema era situato in un grande edificio universitario, piuttosto simile a un tempio, e l'ingresso era vietato al pubblico. Comunque, il sistema venne chiamato Tom. Per controllare l'abilità di Tom gli venivano sottoposte complesse asserzioni logiche e matematiche di ogni tipo e, dopo il tempo necessario per l'elaborazione, arrivavano puntualmente le risposte: vero, vero, falso, vero, falso... Dopo non molto la fama di Tom si diffuse in tutto il paese. In molti venivano a visitare il laboratorio e aguzzavano sempre di più l'ingegno per formulare problemi sempre più difficili nel tentativo di mettere in difficoltà il sistema. Nessuno ci riuscì. La fiducia dei matematici nell'infallibilità di Tom crebbe a tal punto che persuasero il loro re a offrire un premio a chiunque riuscisse a sconfiggere il suo incredibile potere analitico. Un giorno, un viaggiatore che veniva da un altro paese giunse all'università con una busta e chiese di sfidare Tom. Nella busta c'era un pezzo di carta con una proposizione da sottoporgli. La proposizione, che possiamo indicare con «P» («P» sta per «proposizione» o per «paradosso»), diceva semplicemente: «Tom non può dimostrare che questa proposizione è vera».

P venne sottoposta a Tom. Erano passati appena pochi secondi che il sistema entrò in preda a una specie di convulsione. Dopo mezzo minuto un tecnico giunse correndo dal laboratorio con la notizia che Tom era stato disattivato a causa di problemi tecnici. Che cosa era accaduto? Supponiamo che Tom dovesse arrivare alla conclusione che P è vera. Questo significherebbe che la proposizione «Tom non può dimostrare che questa proposizione è vera» sarebbe stata falsificata. Ma se P è falsificata, non può essere vera. Così se Tom risponde «vero» a P, avrà raggiunto una conclusione falsa, contraddicendo la sua vantata infallibilità. Dunque Tom non può rispondere «vero». Siamo dunque giunti alla conclusione che P è effettivamente vera. Ma nel giungere a questa conclusione abbiamo dimostrato che Tom non può giungere a questa conclusione. Questo significa che noi conosciamo la verità di una proposizione che Tom non può dimostrare. Questa è l'essenza della dimostrazione di Gödel: che esisteranno sempre certe proposizioni vere che non possono essere dimostrate. Il viaggiatore, naturalmente, lo sapeva e non ebbe alcuna difficoltà a costruire P e intascare il premio.

È importante, tuttavia, rendersi conto del fatto che le limitazioni messe in luce dal teorema di Gödel riguardano lo stesso metodo assiomatico di dimostrazione logica, e non una proprietà delle proposizioni che si cerca di dimostrare (o di refutare). Si può sempre trasformare una proposizione vera che è indimostrabile all'interno di un dato sistema di assiomi in un assioma di qualche sistema esteso. Ma allora ci saranno altre proposizioni indimostrabili in questo sistema esteso, e così via.

Il teorema di Gödel fu una devastante battuta d'arresto per il programma formalista, ma l'idea di una procedura meccanica per indagare le proposizioni matematiche non venne abbandonata completamente. Forse le proposizioni indecidibili sono solo stranezze che possono essere eliminate dalla logica e dalla matematica? Se si trovasse un modo per distinguere le proposizioni decidibili da quelle indecidibili, allora determinare se una qualsiasi proposizione appartenente al primo gruppo sia vera o falsa potrebbe pur sempre essere fattibile. Ma è possibile formulare una procedura sistematica per riconoscere in modo infallibile le proposizioni indecidibili ed eliminarle? La sfida venne raccolta da Alonzo Church, un collaboratore di von Neumann a Princeton, il quale dimostrò presto che persino questa meta più modesta era irraggiungibile, almeno in un numero finito di passi. In altri termini: si potrebbero fare asserzioni matematiche potenzialmente vere o false, e si potrebbe intraprendere una procedura sistematica per controllare la loro verità o falsità, ma questa procedura non avrebbe mai termine: il risultato non potrebbe mai essere conosciuto.

da Paul Davies, La mente di Dio , trad. it. M. D'Agostino e A. Gulotta, Mondadori, Milano 1993, pp. 117-121.


DISF - Documentazione Interdisciplinare di Scienza e Fede | Documentazione Generale

Le questioni di decidibilità/indecidibilità sono ormai note.

Su Wikipedia c'è una bella spiegazione: Godel

[Una Qualsiasi Pietra]

«La presente proposizione è una bugia». Se la proposizione è vera, allora è falsa; e se è falsa, allora è vera.

Questa è una contraddizione, pertanto è falsa :giagia: onf:

[blackgin]

Questa è una contraddizione, pertanto è falsa :giagia: onf:

Quello è un paradosso, pertanto è un paradosso.

[euvitt]

certo che se cercate di risolverle tramite l'uso del linguaggio....mi doveste prima spiegare che fine fa il mio pugno quando apro la mano

[Cuordy]

Le questioni di decidibilità/indecidibilità sono ormai note.

Su Wikipedia c'è una bella spiegazione: Godel

Che significa "sono ormai note" se non dici nulla? :gratgrat:

[silence]

Ma se alla proposizione "Tom non può dimostrare che questa proposizione è vera" sostituisco la proposizione "Tom non può dimostrare che questo oggetto è vero", il teorema di Godel è ugualmente valido? Non ho capito molto bene sinceramente...

[Platone]

E' il celebre paradosso del mentitore, che già Aristotele conosceva, del tipo: "questo enunciato è falso" se è vero è falso, se è falso è vero.