La "Divina Proporzione" e la serie di Fibonacci

[Tomás de Torquemada]

La Sezione Aurea

Con sezione aurea si indica un rapporto fra due grandezze disuguali, di cui la maggiore è medio proporzionale rispetto la minore e la loro somma (a+b : a = a : b), oppure il numero corrispondente, approssimativamente pari a 1.618 (0.618).

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Leonardo Fibonacci
Immagine tratta dal sito http://upload.wikimedia.org/

[Tular]

Trovo molto interessante il fatto che, utilizzando uno strumento semplicissimo come il triangolo di Pascal, si riesca a mettere in relazione la serie di Fibonacci con la serie dei numeri triangolari e dei numeri tetraedrici, nonché con le infinite serie sorelle che si possono sviluppare sullo stesso schema in più dimensioni (intese in senso matematico), per esempio i pentatop che sono l'equivalente dei tetraedrici ma in 4 dimensioni.
Quindi la sezione aurea è in stretta connessione con i numeri di Fibonacci (e viceversa) ed i numeri di Fibonacci sono in stretta connessione con una particolare famiglia di numeri figurati multidimensionali (e viceversa).
Quindi la sezione aurea, con tutta la sua bellezza, è in stretta connessione con i numeri triangolari e tutti gli equivalenti in più dimensioni.
I numeri triangolari si possono considerare "atomici" nel piano, così come i tetraedrici lo sono nello spazio a tre dimensioni, i pentatop in quello a 4 etc.
E sono in stretta connessione con l'armonia della sezione aurea.
Lo trovo bello ed elegante; i numeri triangolari, tetraedrici ed altri figurati vennero studiati a fondo da Arturo Reghini, in modo non banale.

[Tular]

C’è poi un’altra particolarità interessante ed è il legame tra numeri di Fibonacci e terne pitagoriche.
Infatti si può dimostrare che dati 4 numeri consecutivi di Fibonacci a, b,c,d, allora si può sempre costruire una terna pitagorica così:

A=2bc
B= ad
C=b^2+c^2

Ad esempio, dati i 4 numeri consecutivi di Fibonacci

a=3
b=5
c=8
d=13

Quindi

A=2*5*8= 80
B=3*13=39
C=5^2+8^2=25+64=89

E chiaramente è vero che A^2+B^2 è uguale a C^2=7921 quindi la relazione è verificata.
Questo vale sempre.

Quindi, poiché i numeri di Fibonacci sono a loro volta in relazione con il numero d’oro, ne consegue che tra la bellezza del numero d’oro e le terne pitagoriche c’è una relazione oggettiva.
Questo è un altro esempio di come la bellezza estetica percepita dalla maggior parte delle persone di fronte a forme che rispettino le proporzioni auree abbia dietro di sé un ordine che soggettivo non è.

Ora, a prima vista la questione delle terne pitagoriche è cosa da bambini delle medie. Ma non è proprio così; infatti basta porre un semplice vincolo, la parola “consecutivo” con riferimento ai primi due numeri interi della terna per far sì che l’equazione
a^2+b^2=c^2 si trasformi in un’equazione a valori interi con due incognite n^2+ (n+1)^2=m^2 cioè proprio uno dei tipi di equazioni studiate magistralmente da Arturo Reghini nei primi due libri della sua opera in 7 libri dedicata ai numeri pitagorici.

Ancora, ci si può e deve porre il teorema di Pitagora “generalizzato” ossia, quali sono (se esistono) quei numeri non quadrati, ma triangolari, pentagonali o di qualsivoglia altra forma che verificano la
a(l)+b(l)=c(l) dove il lato l dei numeri coinvolti non è necessariamente = 4 (caso quadrato), ma potrebbe essere 3 (triangolari), 5 (pentagonali) etc.
E la domanda si può generalizzare ai numeri figurati nello spazio a tre dimensioni.

Rispondere a queste domande non è semplice ma Reghini ha fornito nei primi due libri tutti gli strumenti per affrontare e risolvere o almeno inquadrare la questione.

[Tomás de Torquemada]

Ottimi contributi, Tular, grazie (mi riservo, anzi, di leggerli con più attenzione)...

Secondo me il pensiero di Reghini abbatte ogni fasulla barriera tra matematica, filosofia, esoterismo... spaziando, con sapienza e irriverente creatività, tra i vari aspetti dello Scibile...

Immagine tratta dal sito Esopedia

Arturo Reghini: geometria e simboli

Arturo Reghini si laureò in matematica all'Università di Pisa e si dedicò all'insegnamento di questa materia in vari istituti superiori in Toscana e a Roma. Nel 1914, dopo essere entrato nel movimento futurista fece parte del comitato direttivo della rivista "Lacerba".

Fu matematico e filosofo pitagorico; oltre al pitagorismo, Reghini fu affiliato anche a vari gruppi dell'esoterismo italiano e nel 1905 fondò a Firenze una loggia dipendente dal Grande Oriente d'Italia.

Tra i suoi scritti: "Per la restituzione della geometria pitagorica", Atanòr, Roma, 1931.

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[Tular]

Secondo me il pensiero di Reghini abbatte ogni fasulla barriera tra matematica, filosofia, esoterismo... spaziando, con sapienza e irriverente creatività, tra i vari aspetti dello Scibile...

Sono d'accordo, anche sulla irriverente creatività, che però più che irriverente secondo me era permeata da quel gusto della polemica tipico di molti toscani; si tratta di un aspetto della "toscanità" che a me non piace molto ma che talvolta ha la sua utilità.
Il periodo migliore di Reghini secondo me è l'ultimo, quello della fase finale della sua vita, anni '30 ed anni '40 (fino alla morte); in quel periodo Reghini fu veramente solo; isolato dal fascismo, lontano dalla maggior parte dei suoi sodali che avevano abbandonato l'Italia dopo il Concordato, perseguitato dai clericali (che giunsero ad attentare alla sua vita), isolato dagli stessi massoni che non vedevano di buon occhio le sue idee di "ritorno alle origini" della massoneria e nemmeno le sue idee pitagoriche, nonché la sua fede pagana ed antiscientista ma non antiscientifica. In quel periodo, di grande povertà economica, facendo fronte a non piccole ristrettezze materiali ed infine alla guerra, con gli eserciti stranieri che scorrazzavano su e giù per la penisola, per la sua (e nostra) amata Italia (cosa che gli diede un grande dolore) Reghini riuscì ad esprimere il meglio di sé.
Perché sembra proprio vero che gli Dei amano i migliori e per questa ragione li mettono alla prova nei modi più opportuni.
E infatti fu in quegli anni (e non nei precedenti anni di polemiche e battaglie verbali a mio parere quasi sempre sterili, ieri come oggi come sempre da parte di chiunque le porti avanti) che Reghini scrisse la sua monumentale opera in 7 libri dedicata all'aritmetica pitagorica.

Può essere poi utile ricordare che il libro "Per la restituzione della geometria pitagorica" da te sopra ricordato (distinto dai 7 libri dedicati all'aritmetica pitagorica, a loro volta distinti dai suoi precedenti studi sull'aritmetica pitagorica) ottenne dei riconoscimenti sia dall'Accademia dei lincei che dall'Accademia d'Italia (da quest'ultima fu premiato).

[Tular]

Parlando di divina proporzione è giusto ricordare anche la figura di Roggero Musmeci Ferrari Bravo ed in particolare i suoi interessanti esperimenti in scultura, ispirati dall'idea che esista un archetipo di perfezione estetica formale esprimibile anche matematicamente.
Quindi è giusto ricordare anche le sue sculture, di cui ci restano il Capo di Romo e la Venere delle Perle.
Purtroppo delle sue intuizioni più strettamente matematiche ci è giunto poco o nulla, allo stato attuale delle nostre conoscenze in merito.

[GNU-GPL]

"L'uomo è una Stella" Aleister Crowley

[Tular]

A proposito dell'immagine precedente in cui si vedono associati i lati dei triangoli ai numeri di Fibonacci, è curioso che mentre è sempre possibile (ovviamente, visto che l'unità di misura è a piacere) avere un triangolo equilatero con lati lunghi quanto un numero di Fibonacci, ed è sempre possibile (meno ovviamente) avere un triangolo isoscele i cui due lati uguali siano lunghi quanto un numero di Fibonacci ed il lato restante sia anch'esso un (diverso) numero di Fibonacci (come nella figura postata da GNU-GPL), non si può mai avere un triangolo scaleno, cioè avente tre lati disuguali, che abbia tali lati lunghi quanto tre diversi numeri di Fibonacci!
E la cosa si può dimostrare facilmente.

Insomma, sembra proprio che i numeri di Fibonacci non ne vogliano sapere di squilibri, brutture e disarmonie.

[Tomás de Torquemada]

Insomma, sembra proprio che i numeri di Fibonacci non ne vogliano sapere di squilibri, brutture e disarmonie.

Ciò che mi ha sempre affascinato dei numeri di Fibonacci è proprio questo aspetto: nel loro significato profondo sono un inno all'armonia, alla bellezza assoluta senza eccezioni.

[Tular]

Ciò che mi ha sempre affascinato dei numeri di Fibonacci è proprio questo aspetto: nel loro significato profondo sono un inno all'armonia, alla bellezza assoluta senza eccezioni.

Lo penso anche io e la cosa è molto interessante proprio per le conseguenze che se ne dovrebbero trarre in termini di visione del mondo:
Ci sono molte cose (la sezione aurea ed i numeri di Fibonacci sono tra queste) che ci ricordano che la bellezza è un fatto molto meno soggettivo di quanto si possa in prima battuta pensare ed il trovarla associata a forme indiscutibili di ordine dovrebbe indurre a riporre meno fiducia nel caos e maggior fiducia nell'ordine stesso.