Geometria non-euclidea

[Carnby]

Com'è noto la geometria euclidea si basa sull'assunto che data una linea retta esiste una e una sola retta parallela alla retta data. Siccome questo non è possibile derivarlo dai primi quattro assiomi (o "postulati di Euclide") si sono sviluppate geometrie non-euclidee, formalmente valide. Mi domandavo però se tutto non sia dovuto al fatto che è difficile definire che cosa sia in realtà una linea retta. Le illustrazioni che ho trovato riguardo alle geometrie non-euclidee sembrano rappresentare tutte linee rette in qualche modo curve, contararie alla comune percezione di una linea retta come "linea diritta". Ma come si fa a dimostrare geometricamente la dirittura di una linea retta?

[Una Qualsiasi Pietra]

Com'è noto la geometria euclidea si basa sull'assunto che data una linea retta esiste una e una sola retta parallela alla retta data.

:14345:

[uqbar]

Com'è noto la geometria euclidea si basa sull'assunto che data una linea retta esiste una e una sola retta parallela alla retta data. Siccome questo non è possibile derivarlo dai primi quattro assiomi (o "postulati di Euclide") si sono sviluppate geometrie non-euclidee, formalmente valide. Mi domandavo però se tutto non sia dovuto al fatto che è difficile definire che cosa sia in realtà una linea retta. Le illustrazioni che ho trovato riguardo alle geometrie non-euclidee sembrano rappresentare tutte linee rette in qualche modo curve, contararie alla comune percezione di una linea retta come "linea diritta". Ma come si fa a dimostrare geometricamente la dirittura di una linea retta?

per quello che ho capito io nelle geometrie non euclidee le rette sono curve in quanto si prendono in considerazione spazi immensamente estesi e quindi lo spazio è necesariamente curvo sia se prendiamo come riferimento la terra sia lo spazio in genere.

Riguardo la tua domanda sulla dirittura della retta rispondo che la dirittura di una retta è dimostrabile concettualmente (nella pratica è difficile) : è retto tutto ciò che non contiene curve, o, per dirla alla Cartesio, la linea retta è, tra le infinite linee, quella in assoluto più corta che unisce due punti .

[L'anticristo]

Com'è noto la geometria euclidea si basa sull'assunto che data una linea retta esiste una e una sola retta parallela alla retta data.

Sei sicuro ? a me pare che ogni retta abbia infinite rette parallele (lo insegnano alle elementari)

dov'e' che sbaglio ?

[uqbar]

Sei sicuro ? a me pare che ogni retta abbia infinite rette parallele (lo insegnano alle elementari)

dov'e' che sbaglio ?

la questione sulle rette parallele contiene un altro elemento: il punto esterno alla retta
Quindi l'assunto è: data una retta e un punto esterno, da questo punto esterno pasa solo una sola retta parallela.
Secondo la geometria euclidea le due rette parallele non si incontyrano mai.
Secondo la geometria non euclidea invece si incontrano

[Carnby]

per quello che ho capito io nelle geometrie non euclidee le rette sono curve in quanto si prendono in considerazione spazi immensamente estesi e quindi lo spazio è necesariamente curvo sia se prendiamo come riferimento la terra sia lo spazio in genere.

Ma quindi la questione è solo la curvatura dello spazio e non direttamente il quinto postulato di Euclide (che sembrerebbe essere una conseguenza)?

Riguardo la tua domanda sulla dirittura della retta rispondo che la dirittura di una retta è dimostrabile concettualmente (nella pratica è difficile) : è retto tutto ciò che non contiene curve, o, per dirla alla Cartesio, la linea retta è, tra le infinite linee, quella in assoluto più corta che unisce due punti .

Ma immagino che nello spazio non euclideo questa definizione non valga, o sbaglio?

la questione sulle rette parallele contiene un altro elemento: il punto esterno alla retta

Ehm, certo, me ne ero dimenticato...

[Venom]

per quello che ho capito io nelle geometrie non euclidee le rette sono curve in quanto si prendono in considerazione spazi immensamente estesi e quindi lo spazio è necesariamente curvo sia se prendiamo come riferimento la terra sia lo spazio in genere.

Riguardo la tua domanda sulla dirittura della retta rispondo che la dirittura di una retta è dimostrabile concettualmente (nella pratica è difficile) : è retto tutto ciò che non contiene curve, o, per dirla alla Cartesio, la linea retta è, tra le infinite linee, quella in assoluto più corta che unisce due punti .

La linea retta (come la si intende di solito) è la curva più corta che unisce due punti (geodetica), nella geometria euclidea. Non nelle geometrie non euclidee.
Ad esempio nella geometria sferica la retta è il cerchio massimo sulla superficie sferica.

[Cuordy]

Com'è noto la geometria euclidea si basa sull'assunto che data una linea retta esiste una e una sola retta parallela alla retta data. Siccome questo non è possibile derivarlo dai primi quattro assiomi (o "postulati di Euclide") si sono sviluppate geometrie non-euclidee, formalmente valide. Mi domandavo però se tutto non sia dovuto al fatto che è difficile definire che cosa sia in realtà una linea retta. Le illustrazioni che ho trovato riguardo alle geometrie non-euclidee sembrano rappresentare tutte linee rette in qualche modo curve, contararie alla comune percezione di una linea retta come "linea diritta". Ma come si fa a dimostrare geometricamente la dirittura di una linea retta?

Curiosità: ultimamente hai per caso letto "Dio è un matematico" di Livio Mario?

[Carnby]

Curiosità: ultimamente hai per caso letto "Dio è un matematico" di Livio Mario?

No. È interessante?

[Cuordy]

No. È interessante?

Sì, ma solo per chi si affaccia per la prima volta su queste cose.

Racconta la nascita e l'evoluzione della matematica in maniera semplice, nulla di più.

Credo che bvi siano scritte cose che già conosci... mi era sorto il dubbio che l'avessi letto perché esponi le cose in maniera simile all'autore di quel libro.

Continuate pure e scusate.