La serie di Fibonacci

[Tomás de Torquemada]

I NUMERI DI FIBONACCI

Nel 1223 a Pisa, l'imperatore Federico II di Svevia, fu ben felice di assistere a un singolare torneo tra abachisti e algoritmisti, armati soltanto di carta, penna e pallottoliere. In quella gara infatti si dimostrò che col metodo posizionale indiano appreso dagli arabi si poteva calcolare più velocemente di qualsiasi abaco.

Il test era il seguente: "Quante coppie di conigli si ottengono in un anno -salvo i casi di morte- supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?".

Un pisano, Leonardo, detto Bigollo, conosciuto anche col nome paterno di "fillio Bonacci" o Fibonacci, vinse la gara. Figlio d'un borghese uso a trafficare nel Mediterraneo, Leonardo visse fin da piccolo nei paesi arabi e apprese i principi dell'algebra, il calcolo, dai maestri di Algeri, cui era stato affidato dal padre, esperto computista.

Fibonacci - Immagine tratta dal sito http://lahabra.seniorhigh.net/

Più tardi, sempre esercitando la mercatura, Leonardo viaggiò in Siria, Egitto, Grecia, conoscendo i massimi matematici musulmani. Da queste esperienze nacque il Liber Abaci, un colossale trattato che dischiuse all'Occidente i misteri delle nove "figure" indiane e del segno sconosciuto ai greci e ai latini, "quod arabice zephirum appellantur", che indica un numero vuoto come un soffio di vento: zefito appunto, zefr, o zero.

Leonardo diede al test una risposta così rapida da far persino sospettare che il torneo fosse truccato: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377..., ogni nuovo numero non rappresenta che la somma dei due che lo precedono. E' facile trovare la risposta giusta.

I numeri della serie -la prima periodica della storia della matematica- che Leonardo Pisano usò per risolvere il problema dei conigli, sono noti ancora oggi come "numeri di Fibonacci": Essi presentano alcune proprietà (la più importante delle quali è che se un qualsiasi numero della serie è elevato al quadrato, questo è uguale al prodotto tra il numero che lo precede e quello che lo segue, aumentato o diminuito di una unità) che permettono di costruire alcuni trucchi sconcertanti.

http://www.criad.unibo.it/galarico/c.../fibonacci.htm

Dal sito http://www.criad.unibo.it/

[Tomás de Torquemada]

[inwin=300]www.liceoberchet.it/ricerche/sezioneaurea/sez2.htm[/inwin]

Dal sito http://www.liceoberchet.it/

[Tomás de Torquemada]

Oltre le colonne di Fibonacci
di Michele Emmer

Con il «Liber Abaci» ha perfezionato il sistema di calcolo che veniva dall'India e dall'Arabia Ha rivoluzionato la matematica e persino Leonardo gli ha reso omaggio

Che cosa hanno in comune Stravinskji, Leonardo da Vinci, Bach, Seurat e l'allevare conigli e la capacità di far di conto? Si potrebbe continuare a citare nomi di musicisti, artisti, filosofi, matematici. Dobbiamo fare un salto indietro: quando la nostra civiltà occidentale impara a fare di conto, quando si diffonde la capacità di riuscire a cavarsela per acquistare o vendere delle merci? Questione non facile se si utilizzano i numeri Romani. Quale proprietà non hanno i numeri Romani? Non sono posizionali, nel senso che se ilo scrivo XIII, indico con X la decina, con III il numero tre e quindi ho scritto il numero 13. Appunto noi oggi scriviamo 13 dove semplicemente scrivendo il numero 1 in prima

posizione indichiamo che si tratta di una decina e non ci sono dubbi che se scrivo 1, cioè il numero uno ripetuto in prima e seconda posizione si tratta di una decina e di una unità, non come nel caso dei numeri Romani dove il numero 1 ripetuto voleva dire 2. Il vantaggio? Provate a moltiplicare 1567 per 32789 con numeri Romani. Noi utilizziamo dieci simboli 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 per scrivere qualsiasi numero e utilizziamo la loro posizione per distinguere tra unità, decine, centinaia, migliaia, miliardi ecc.

Sembra una cosa talmente ovvia che nessuno fa mente locale che è ad un certo punto della storia dell'umanità che si diffonde questo modo di contare e i simboli che per noi oggi rappresentano i numeri interi. Insomma come arrivano da noi i numeri interi scritti come li conosciamo oggi e quando si diffonde la scrittura posizionale dei numeri?

In tutte le epoche storiche il mare Mediterraneo è stato una grande strada di combinazione per gli scambi culturali e economici tra le tante civiltà che vi si affacciano. Ci sono state migrazioni, invasioni, guerre per secoli e secoli. E la civiltà, tutte le tante civiltà del Mediterraneo sono più o meno una debitrice dell'altra. Anche se si tende a dimenticarselo e si mettono invece in evidenze le diversità. La nostra capacità di fare i conti ha un grande debito con la civiltà Araba del Nord Africa e con la lontana civiltà Indiana. Un personaggio in particolare è stato il più importante tramite tra la evoluta civiltà matematica araba e l'Europa: Leonardo Fibonacci, detto anche Leonardo Pisano. Si sa poco della sua vita, non si conoscono né la data della nascita né della morte. Quella che sembra sicura è la data di completamente di un libro che sarà di un importanza capitale per il trasferimento di conoscenza tra Oriente ed Occidente. Nel 1202 Fibonacci compone il Liber Abaci, il libro dell'Abaco. Sono passati quindi ottocento anni. Per celebrare la ricorrenza l'Unione Matematica Italiana dedicherà il numero di agosto della rivista La matematica nella società e nella cultura in gran parte a Fibonacci. Con un lungo articolo storico di Raffaella Franci, uno di Ribenboim sui numeri di Fibonacci nella natura ed una lunga intervista di Laura Tedeschini Lalli a Roman Vlad su musica, arte e matematica, con un occhio di riguardo ai numeri di Fibonacci. Ma torniamo a quello che si sa di Fibonacci. Che sia di Pisa sembra certo così come che fosse della casata dei Bonaccio. Il padre Guglielmo ha una parte importante nella storia.

Fibonacci - Immagine tratta dal sito http://faculty.evansville.edu/

Negli anni intorno al 1185 Guglielmo Fibonacci era pubblico scrivano della Repubblica di Pisa presso la dogana di Bugia, tra le attuali Algeri e Tunisi, un importante porto commerciale dell'Africo settentrionale. Scrive la Franci che: «Il commercio dopo molti secoli di stagnazione dall'anno Mille aveva avuto una notevole ripresa ed aveva assunto di nuovo carattere internazionale. Il commercio internazionale aveva due bacini principali. L'Europa settentrionale che forniva lana, panni, legname, ferro ed altri metalli e i paesi dell'Africa settentrionale e del vicino oriente che esportavano principalmente spezie, seta e gioielli. Nonostante il frazionamento politico, la diversità dei costumi e delle lingue parlate i paesi di entrambi i poli erano caratterizzati da una religione comune e da una comune lingua letteraria: il cristianesimo e il latino per i primi, l'islamismo e l'arabo per gli altri.» La continuità e l'ampiezza dei commerci fra le città marinare italiane e alcuni porti arabi portarono alla costituzione in questi ultimi di quartieri i cui abitanti provenivano tutti da una stessa città e godevano di speciali privilegi. Si trattava di vere e proprie zone franche rette da pubblici ufficiali che applicavano nell'amministrazione le leggi delle rispettive repubbliche. Bugia era uno dei porti nei quali Pisa aveva un suo «stabilimento», che negli anni attorno al 1185 era presieduto da Guglielmo Fibonacci. Guglielmo, mentre era in servizio a Bugia, decise di chiamare a sé il figlio Leonardo, ancora ragazzo, per completare la sua educazione. In particolare a studiare l'abaco, termine con il quale erano indicati sia uno strumento a tavoletta per eseguire le operazioni. aritmetiche, sia il complesso delle tecniche commerciali. Nella scuola di Bugia Leonardo venne a conoscenza del sistema posizionale usato dagli arabi per scrivere i numeri. Probabilmente fu proprio perché Leonardo imparasse questo modo nuovo di fare i conti che il padre lo aveva chiamato a Bugia. Fibonacci si convinse presto che il metodo dei numeri indiani con la scrittura posizionale erano molto più efficaci di quello in uso in Europa all'epoca.

Nel trattato di Abaco scriverà: « Fui introdotto in tale arte (dell'abaco) da un mirabile insegnamento per mezzo delle nove figure degli Indi. La conoscenza di tale arte molto mi piacque rispetto alle altre. Riassunto in breve tale procedimento degli Indi, studiandolo più attentamente e aggiungendovi qualcosa di mia iniziativa e altro ancora apponendovi delle sottigliezze dell'arte geometrica di Euclide, mi sono impegnato a comporre nel modo più chiaro possibile questo libro diviso in 15 capitoli, presentandovi con dimostrazioni quasi tutto quello che ho inserito. E questo perché coloro che sono attirati da questa scienza ne vengano istruiti in modo perfetto, e i popoli latini (gens latina ) non se ne trovino esclusi come è stato fino ad oggi».

E i numeri di Fibonacci? Tra i tanti problemi che si trovano nel Liber Abaci uno è diventato molto famoso: il problema dell'allevamento dei conigli. Si ha una coppia di conigli e ci si chiede Quot paria coniculorum in uno anno ex uno patto germinantur. (quanto coppie di conigli saranno prodotte da una coppia di conigli). La regola è che ogni mese la coppia originaria genera una nuova coppia. Da una quindi dopo un mese se ne ha un'altra, da 1 a 2, dopo un altro mese 1 altra coppia (la seconda non è ancora fertile) quindi 3, poi al terzo mese altre due coppie generate, quindi 5 e così via. Si arriva alla successione di numeri 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e così via. I numeri di Fibonacci appunto.

E Stravinskji, Leonardo, Seurat? Se si considera al crescere delle coppie il tasso di crescita dell'allevamento dei conigli ci si avvicina ad un numero che ha avuto una straordinaria importanza nella storia dell'arte classica e non solo: quel numero che si chiama la proporzione aurea. Un solo esempio: Il pittore francese Seurat ne ha fatto un uso consapevole in molte delle sue opere. Leonardo da Vinci si accorse che i numeri di Fibonacci tornavano nella posizione delle foglie sui diversi tipi di piante, nella fillotassi cioè. Ed in musica? Ecco cosa ne scrive Roman Vlad: (Musica e matematica di M. Emmer, a cura di Matematica e cultura 2, Springer 1999): «Esempi dell'uso dei numeri di Fibonacci si hanno nell'arte della fuga e nell'offerta musicale di Giovanni Sebastiano Bach. Meno frequenti nei classici viennesi ricompaiono nella Sonata in la D 959 di Schubert. Nella maggior parte delle musiche di Debussy ed in Ravel. Notevole anche l'utilizzo che ne fa Bela Bartok nell'Allegro Barbaro ed in altre musiche. L'esempio più stupefacente di una applicazione su larga scala degli stilemi improntati alla proporzione aurea è dato dalla Sagra della Primavera di Stravinski. La prima parte di questo capolavoro è strutturata secondo la prima delle serie di Fibonacci (2-3-5-8 ecc.) la seconda presenta articolazioni riferibili alla seconda serie (3-4-7-11) ». La nostra civiltà deve molto alla cultura araba e a Leonardo Pisano.

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L'Unità, 2 luglio 2002 - Dal sito http://lgxserver.uniba.it/