Matematica -- Quanti sono i numeri primi'

[spq]

Secondo il teorema fondamentale dell'aritmetica, ogni numero naturale è scomponibile in un solo modo in un prodotto di numeri primi.
Cioè ad ogni numero corrisponde una scomposizione diversa, ed ogni scomposizione produce un numero diverso.
Ogni numero naturale quindi si può rappresentare come:
2^a . 3^b . 5^c . 7^d . 11^e . … eccetera per ogni numero primo
dove per a è possibile scegliere qualunque esponente intero da 0 a ℵ0 (la cardinalità dell'insieme dei num. naturali), e così pure per b, c, d, e, ecc.
Ognuna delle scelte possibili produce un diverso numero naturale.
IL numero di scelte possibili é ℵ0 ^ p, dove indico con p il numero di numeri primi, quindi il numero di numeri naturali è ℵ0 ^ p.
Dobbiamo concludere quindi che
1> ℵ0 ^ p = ℵ0.

Se p fosse un numero finito, l'uguaglianza 1> sarebbe valida, ma sappiamo che non è così.
Molte fonti concordano sul fatto che l'insieme dei numeri primi è numerabile, cioè può essere messo in corrispondenza bi-univoca con l'insieme dei numeri naturali, cioè i due insiemi hanno la stessa cardinalità ℵ0 .
Se ciò è vero, allora il numero totale delle scelte possibili è ℵ0^ℵ0, quindi il numero di numeri naturali risulta essere ℵ0^ℵ0 cioè
2> ℵ0 ^ ℵ0 = ℵ0

Dal momento che il numero ℵ0^ℵ0 è evidentemente non minore di 2^ℵ0, il ragionamento fin qui seguito è in contraddizione con la classificazione degli infiniti operata da Cantor. ( ℵ1 = 2^ℵ0 , ipotesi del continuo, …)

L'argomento qui esposto usa implicitamente l'assioma della scelta. E' forse questo il punto che genera la contraddizione?
O dobbiamo ipotizzare che il numero di numeri primi sia qualcosa di 'intermedio' fra un mumero finito e l'infinito numerabile ℵ0 ?

E' pure vero che la probabilità che un numero naturale sia primo è 0.
O meglio: se p(n) designa il numero di numeri primi minori del num intero n, allore il lim per n->infinito di p(n)/n è 0.

[spq]

Dunque: quanti sono i numeri primi?

Perché l'uguaglianza 1> del post precedente sia ammissibile, dovrebbero essere un numero finito: mentre la dimostrazione di Euclide ci convince che sono un numero maggiore di qualunque numero finito.
E l'osservazione che il lim per n->infinito di p(n)/n è 0 ci mostra che tale numero è comunque 'infinitamente' più piccolo di ℵ0 (che Cantor mi perdoni)

Come possiamo conciliare queste affermazioni senza rinunciare all'assioma della scelta?

[spq]

Un altra osservazione può essere che la somma degli inversi dei numeri primi
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ...
diverge, cioè diventa maggiore di qualunque numero.
Ciò può significare che i numeri primi (ancorché infiniti) sono pochi ma non poi pochissimi.

[Narel Jarvi]

Per esempio è facile concepire che l'insieme dei numeri pari abbia la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri pari e dispari.

Tu vuoi dirmi che con i numeri primi la faccenda non è così semplice e dobbiamo introdurre concetti avanzati come l'assioma della scelta, i limiti, le serie e compagnia cantando, giusto?

[spq]

Premetto che non sono un matematico né di studi né di professione, ma soltanto un po' interessato a questi argomenti.

La classificazione dei numeri 'transfiniti' operata da Cantor prevede che il più piccolo di questi numeri, chiamato da lui ℵ0 (aleph-zero) sia il numero di numeri naturali, o infinito numerabile, o contabile.

La trattazione di Cantor scopre poi che l'insieme dei numeri razionali, misurabile con ℵ0 ^ 2 (ℵ0 scelte per il numeratore, ℵ0 per il denominatore) si può mettere in corrispondenza bi-univoca con l'insieme dei num. naturali, quindi ha la stessa cardinalità (ℵ0 = ℵ0^2).
Scopre anche che l'insieme dei numeri reali, misurabile con 2^ℵ0 o 10^ℵ0 non si può mettere in corrispondenza, quindi ha una cardinalità di ordine superiore.

Quanto all'insieme dei numeri primi, non riesco a risolvere la contraddizione che espongo nei post 1 e 2, per cui la sua cardinalità non é un num. finito, ma neanche può essere ℵ0.
Attendo quindi che qualche matematico mi chiarisca la faccenda.

[spq]

Credo di aver risolto la contraddizione, che dipendeva (ovviamente) da un mio errore in partenza.

The Fundamental Theorem of Arithmetic says that any positive integer greater than 1 can be written as a product of finitely many primes uniquely up to their order.
per es.https://www.expii.com/t/full-proof-o...rithmetic-3406

Quindi nell'uguaglianza 1> del post 1
1> ℵ0 ^ p = ℵ0
p non si deve intendere come il numero di numeri primi (che chiaramente é transfinito) ma come il numero finito di numeri primi che compaiono nella scomposizione.

Quel 'finitely many', che del resto non ha alcuna conseguenza per l'aritmetica elementare, non compare quasi mai quando il teorema viene citato nei siti internet e nei libri di testo di aritmetica, e io lo ignoravo completamente.

[Darwin]

Credo di aver risolto la contraddizione, che dipendeva (ovviamente) da un mio errore in partenza.

The Fundamental Theorem of Arithmetic says that any positive integer greater than 1 can be written as a product of finitely many primes uniquely up to their order.
per es.https://www.expii.com/t/full-proof-o...rithmetic-3406

Quindi nell'uguaglianza 1> del post 1
1> ℵ0 ^ p = ℵ0
p non si deve intendere come il numero di numeri primi (che chiaramente é transfinito) ma come il numero finito di numeri primi che compaiono nella scomposizione.

Quel 'finitely many', che del resto non ha alcuna conseguenza per l'aritmetica elementare, non compare quasi mai quando il teorema viene citato nei siti internet e nei libri di testo di aritmetica, e io lo ignoravo completamente.

L'errore è proprio li.
I numeri primi sono infiniti ed hanno la cardinalità dei numeri naturali visto che possiamo 'contarli'.

[mixkey3]

L'errore è proprio li.
I numeri primi sono infiniti ed hanno la cardinalità dei numeri naturali visto che possiamo 'contarli'.

Anche i razionali.
I numeri irrazionali no.

[Marximiliano]

E' possibile trovare il primo numero primo, il secondo e così via, cioè è possibile associare qualsiasi numero primo a un numero naturale via via crescente, quindi l'infinito dei numeri primi è della "stessa classe" dell'infinito dei numeri naturali.
Ovviamente quando consideriamo un numero finito di numeri, il numero di numeri primi è inferiore al numero di numeri naturali corrispondenti (per N>3)

[Marximiliano]

Anche i razionali.
I numeri irrazionali no.

Però l'infinito dei numeri razionali è di classe superiore a quello dei numeri naturali, difatti se associ 1 naturale a 1,1 razionale, 2 a 1,01, 3 a 1,001 e così via ti accorgi che non arrivi mai ad associare un numero naturale al numero 2 razionale