La conoscenza, la probabilità, il campionamento e il metodo 'scientifico'.

[spq]

Abbiamo un'urna che contiene un grande numero di palline, di colori sconosciuti.
Da quest'urna estraiamo palline, una alla volta, senza re-inserimento.
Dopo n estrazioni, ci chiediamo: qual é la probabilità che la prossima pallina che estrarremo sarà bianca? (o nera, o ...)
E' ragionevole pensare che più sono le palline estratte, più informazione abbiamo, quindi più possiamo ritenere che le palline estratte siano un buon campione della composizione dell'urna.

Ad esempio, se le prime 50 palline estratte sono tutte nere, possiamo congetturare con buona confidenza che tutte, o almeno la maggior parte delle palline nell'urna siano nere.

C'é qualche teoria matematica che ci permetta di convertire il risultato delle estrazioni in una distribuzione di probabilità congetturali sulla composizione dell'urna?

Oso suggerire che questo problema é una metafora dell'indagine scientifica, e che una risposta a questo quesito deve avere a che fare con il mai ben definito 'metodo scientifico'.

Questo tipo di estrazione merita di essere studiato anche dal punto di vista psicologico,
Supponiamo infatti che la prima pallina che estraiamo sia nera.
Ben difficilmente saremo portati congetturare che invece tutte le altre palline contenute nell'urna sono bianche. Se poi constatiamo che invece é proprio così ci convinciamo che la prima estrazione sia stata molto improbabile e 'irregolare'.
Se invece poi constatiamo che tutte le palline contenute nell'urna sono tutte di colori diversi la prima estrazione di pallina nera ci sembra del tutto regolare, eppure é lo stesso evento del primo caso.

[topquark]

direi che "la composizione dell'urna" si può riformulare con "la probabilità di estrazione di ogni singolo colore" (sommando questa a uno).

se si vuole semplificare a due categorie (p.es nero e non-nero) il problema è connesso alla distr. binomiale inversa.
se si vuole mantenere la generalità mi sembra che occorre invece rifarsi alla distribuzione di dirichlet.

notare che in ogni caso il nr di colori resta un parametro libero del problema.

[Marximiliano]

Mi chiedo se questo esempio rispecchi l'approccio del metodo scientifico alla realtà.
Probabilmente si cercherebbe di inserire una sonda nell'urna per vedere di che colore sono le palline rimaste dentro, e/o si cercherebbe di scoprire quanto è grande l'urna magari uscendo dall'edificio e controllando se l'urna eccede le sue dimensioni o meno.
Non so se sia possibile desumere qualcosa dal risultato delle prime cinquanta palline, magari sono arrivati due camion, il primo ha rovesciato due tonnellate di palline nere nell'urna e il secondo due tonnellate di palline verdi, così le palline nere sono tutte sotto e puoi estrarre ancora centinaia di palline senza trovarne una verde, tuttavia le palline verdi ci sono...

[topquark]

Mi chiedo se questo esempio rispecchi l'approccio del metodo scientifico alla realtà.
Probabilmente si cercherebbe di inserire una sonda nell'urna per vedere di che colore sono le palline rimaste dentro, e/o si cercherebbe di scoprire quanto è grande l'urna magari uscendo dall'edificio e controllando se l'urna eccede le sue dimensioni o meno.
Non so se sia possibile desumere qualcosa dal risultato delle prime cinquanta palline, magari sono arrivati due camion, il primo ha rovesciato due tonnellate di palline nere nell'urna e il secondo due tonnellate di palline verdi, così le palline nere sono tutte sotto e puoi estrarre ancora centinaia di palline senza trovarne una verde, tuttavia le palline verdi ci sono...

a me la "metafora" suggerita da spq piace abbastanza (inferenza da un numero limitato di osservazioni/estrazioni), ma forse è un po riduttiva nel senso che l'ansatz scientifico è piuttosto che la natura segue leggi precise (deterministiche) piuttosto che essere analoga ad un urna di palline distribuite a caso con frazioni ignote.

[Marximiliano]

La casualità è sicuramente un fattore. Nel caso che ho citato difatti c'è ben poco di casuale; d'altra parte la stessa cosa potrebbe essere per esempio per l'universo osservabile... potrebbe esistere una parte di universo enormemente più grande di quello osservabile che risponde a leggi apparentemente completamente differenti perchè nella nostra porzione di universo è successo qualcosa che ha modificato lo stato delle cose in modo che lo vediamo come lo vediamo (e magari rende anche possibile la nostra esistenza, da qui il principio antropico ecc).
Ora, nel caso che ho citato possiamo sicuramente desumere una cosa esatta: cioè che l'urna localmente contiene solo o quasi palline nere vicino al bocchettone da cui le estraiamo, la cosa non ci dice nulla del resto dell'urna che magari è alta dieci metri e contiene anche tutt'altro, ma d'altra parte così come per l'urna a noi di sapere com'è fatto l'universo a un miliardo di miliardi di anni luce di distanza potrebbe non importare, ci importa com'è la parte che vediamo.

[spq]

a me la "metafora" suggerita da spq piace abbastanza (inferenza da un numero limitato di osservazioni/estrazioni), ma forse è un po riduttiva nel senso che l'ansatz scientifico è piuttosto che la natura segue leggi precise (deterministiche) piuttosto che essere analoga ad un urna di palline distribuite a caso con frazioni ignote.

Per completare la metafora...

Le palline che costituiscono il mondo non sono distribuite a caso, ma in un modo che gli uomini cercano di ricostruire dalle limitate osservazioni che possono fare.
Questa ricostruzione (di che 'colore' sono le palline, e che relazioni ci sono fra loro) é proprio l'oggetto dell'indagine scientifica.

[topquark]

Si la metafora mi è chiara.. le palline a questo punto cominciano ad assomigliare a pezzi di puzzle, magari tagliati in modo imperfetto (perche i ns strumenti di indagine sono imperfetti), estratti da regioni del quadro complessivo che sono limitate in grandezza e che non necessariamente ci danno un'immagine chiara delle altre parti del puzzle.

[giondoe]

C'é qualche teoria matematica che ci permetta di convertire il risultato delle estrazioni in una distribuzione di probabilità congetturali sulla composizione dell'urna?

Entropia e Chaos Theory?