Omaggio di Google a Gaston Julia

[Jaki]

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Nato: 3 Febbraio 1893 a Sidi Bel Abbès, Algeria
Morto: 19 Marzo 1978 a Parigi, Francia

Gaston Julia dimostrò, fin dalla giovinezza, uno spiccato interesse per la matematica. A soli 25 anni pubblicò il suo capolavoro Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles, che contiene una descrizione antelitteram del dialetto frattale non lineare e divenne famoso fra i matematici del suo tempo.
Era stato gravemente ferito durante la prima guerra mondiale, ma, mentre si trovava ricoverato in un ospedale militare, fra un'operazione e l'altra, aveva continuato ad occuparsi delle sue ricerche, riuscendo in un'impresa tanto più notevole in quanto, non esistendo ancora i computers, poteva contare solo sulla sua capacità intrinseca di visualizzazione.
In seguito divenne un apprezzato professore all'Ecole Polytechnique di Parigi.
Il suo lavoro, che lo aveva reso famoso negli anni 20, fu però dimenticato fini a quando Mandelbrot non fu capace di trovare un metodo per catalogare gli insiemi di Julia, nei loro differenti aspetti.

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I frattali

Si notò come i risultati di discipline diverse, quali la Geometria, la Fisica e l’Informatica, convergessero dimostrando una stretta parentela. Ciò che ne venne fuori è descrivibile da tre punti di vista:

analitico: l’analisi matematica lavora con le formule, ad un livello molto astratto e poco intuitivo, ma descrive la Fisica reale.
Nel primo ventennio del ‘900 Gaston Julia stava studiando l’andamento di una particolare serie matematica ricorsiva per definirne i confini della rappresentazione grafica. Il risultato a cui pervenne fu che tale frontiera era frastagliata all’infinito e che riproponeva sempre la stessa struttura a varie scale di grandezza. Il confine di questa rappresentazione grafica non poteva mai essere approssimato da un segmento di retta.

Si è riusciti a rappresentare la scoperta di Julia solo con l’avvento del computer.



Negli anni ’80 Mandelbrot definì l’insieme che porta il suo nome e che altro non è che la somma di numerosi insiemi di julia.

geometrico: in questo ambito il frattale è più intuitivo. Un esempio è quella che viene chiamata Curva di Von Koch:


Figura - Curva di Von Koch

Questa proprietà è nota come autosimilarità ed è tipica dei frattali. E’ per questa proprietà che i frattali, che sono delle curve (quindi unidimensionali), coprono una frazione di superficie del piano (quella che viene chiamata dimensione frattale).

fisico-dinamico: a questo punto di vista si giunge partendo dal problema del Caos. Ragionando su questo, negli anni ’60, Lorenz scopre l’attrattore strano che porta il suo nome.
Lorenz: stava lavorando ad un modello atmosferico quando notò che tale modello presentava delle configurazioni che sembravano casuali, caotiche. Ragionando sul problema si rese conto che la causa di questo effetto era la non linearità , giungendo a sostenere, dunque, l’impossibilità pratica della previsione.

Approfondendo i suoi studi scoprì un ordine in quel caos: un modulo fondamentale che si riproponeva ricorsivamente e di cui minime variazioni portavano a nuove evoluzioni. Per la forma a farfalla di tale modulo si denominò tale situazione effetto farfalla. Fu Lorenz stesso a definire quel modulo un Attrattore Strano.

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Quindi un frattale è definito da:

Invarianza di scala (autosimilarità).
dimensione frattale (D).
La Dimensione Frattale è quella proprietà che definisce propriamente i frattali: un frattale è un oggetto con dimensione frattale maggiore di 1. La Dimensione Frattale è quella frazione di area di un piano che viene ricoperta da una curva frattale, aumentata di un’unità.

E’ una cosa diversa dalla dimensione topologica a cui siamo abituati che è, invece, sempre pari ad un numero intero e che, in una curva, è sempre uguale a 1.

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Osservazioni in natura

I fenomeni della natura sembrano regolari, ma guardando bene risultano molto irregolari. La natura aderisce meglio alla geometria frattale che a quella classica.

Possiamo vederne degli esempi:

Profilo delle foglie.
Sviluppo dei coralli.
Forma dei fulmini e delle nubi.
Forma delle montagne.
Forma del cervello.
Diramazioni dendritiche.
Nel 1983, Mandelbrot scoprì che la distribuzione dei frammenti di un materiale, qualunque sia la causa della sua frantumazione, segue una legge di potenza frattale con D uguale a circa 2,5.

Si è visto che anche le fratture di un terremoto possono essere descritte frattalmente. Nel caso del terremoto colpisce il fatto che l’andamento frattale non riguardi la sola distribuzione spaziale delle fratture, ma anche quella temporale di terremoti di diversa intensità.

Ipotesi di ragionamento

Anche nelle opere d’arte sono presenti regole frattali (autosimilarità…), è come se, a livello intuitivo, il concetto di ciò che oggi chiamiamo frattale sia da sempre presente nella conoscenza che l’uomo ha del mondo e, forse, è proprio questa sintonia con il reale a contribuire alla "bellezza" di un’opera d’arte.

Esiste una corrente artistica attuale che studia l’applicazione di regole frattali nelle opere d’arte, uno degli esponenti è Claudio Ciancia.

Forse questa ‘intuibilità’ della descrizione frattale della realtà sta a significare che esiste una sintonia anche con il nostro funzionamento mentale (che è pur sempre ‘realtà’).

Per descrivere l’azione di una persona non mi è necessario sapere se questa ha deciso o meno di effettuarla, ma la persona in questione ha la netta sensazione della propria decisione.

Ma il nostro emisfero sinistro non accetta "buchi di significato" (dimostrabile attraverso l’ipnosi o il test di Wada) e tale consapevolezza di una "decisione" potrebbe far parte di una nostra interpretazione di quella che invece sarebbe un’emergenza frattale, una sorta di impossibilità a fare qualcosa di diverso da quello che siamo convinti di aver ‘deciso di fare’.

Interpretare tale emergenza frattale come una decisione analizzabile deterministicamente potrebbe essere un’esigenza del nostro funzionamento mentale interpretativo che, per ragioni adattive, si è evoluto in direzione del determinismo puro.

In pratica non abbiamo, però, alcun interesse a validare o meno questa ipotesi in quanto quella del "libero arbitrio" è un’interpretazione del nostro funzionamento mentale perfettamente funzionale a livello descrittivo e, così come la Legge della Gravitazione Universale di Newton non è il motivo per cui si muovono i pianeti, ma una valida interpretazione del loro moto, può continuare fungere da chiave di lettura dei nostri studi.

[pcosta]

Julia Dimples
A Julia set with circular orbit trap.

[Mr2]

non c'ho capito un cazzo, ma d'altronde in matematica son sempre stato una sega