Arturo Reghini matematico

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In genere si dimentica o si tende a sottovalutare il fatto che Arturo Reghini fu, tra le altre cose, un grande matematico, sia nel senso sapienziale antico che nel senso tecnico e moderno del termine.
Scrisse un’opera matematica poderosa intitolata “Dei numeri pitagorici “ in sette volumi più un prologo, in puro spirito pitagorico interamente dedicata ai numeri figurati e all’equazione di tipo Pell (a valori interi - ma anche semi interi - con due incognite) necessaria a risolvere numerosi problemi matematici ad essi connessi. Di questa opera finora sono stati pubblicati solamente il Prologo ed il Primo Volume.
Il Prologo di 106 pagine, arricchito da un’appendice contenente molte interessantissime lettere (per un totale di 134 pagine) fu pubblicato già nel 1991 per i tipi della Casa Editrice Ignis, Ancona.
Il Primo Volume, intitolato “Dell’equazione indeterminata di secondo grado con due incognite”, è stato pubblicato solamente nel 2006 per i tipi di Arché-Edizioni Pizeta, San Donato (MI), e raggiunge le 412 pagine, comprensive delle note e di alcune appendici dei curatori. E’ un libro molto bello ed estremamente interessante che ogni vero appassionato o cultore di matematica, in particolare di aritmetica superiore e di teoria dei numeri, non può non studiare con grande profitto e piacere.
Ad ogni modo sono convinto che chiunque abbia una preparazione matematica paragonabile a quella che un tempo offrivano i bienni universitari di Fisica, Matematica, ma anche (in misura molto minore) di Ingegneria, possa tranquillamente affrontare lo studio di questo libro. Ma anche chi invece avesse solamente le nozioni tipiche di un buon liceo scientifico non si deve scoraggiare, perché con un po’ di sforzo può tranquillamente afferrare il quadro d’insieme dell’opera. Per capire alcuni dettagli comunque dovrebbe almeno informarsi un po’ sull’equazione di Pell e sulle frazioni continue; insomma, ne consiglio la lettura e soprattutto lo studio.
Tenete conto che questa fu l’opera a cui Reghini lavorò per circa quindici anni nel periodo della sua piena maturità e vecchiaia, nel grande isolamento in cui lo precipitò prima il clima politico-religioso dell’Italia negli anni ’30 e poi la brutale guerra nella prima metà degli anni ’40. In questo isolamento, in mezzo sofferenze e a difficoltà non piccole, Reghini stoicamente lavorò con genio, passione, competenza ed intuizione a questa bellissima opera, che è giusto ricordare, rispettare e possibilmente studiare.

[Tomás de Torquemada]

Arturo Reghini e la sua opera dedicata alla matematica pitagorica

Arturo Reghini e la sua opera dedicata alla matematica pitagorica


Immagine tratta dal sito Lidiareghini’s Blog

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Alcuni pensieri Reghiniani tratti dal Prologo (Ignis 1991 e successive) all'opera "Dei numeri Pitagorici" (per sei settimi ancora inedita), che rimanda all'antica idea della maggior "originarietà" dell'aritmetica rispetto alle altre scienze (più o meno legate a determinazioni spazio-temporali quando non semplicemente linguistico-culturali):

"La scienza dei numeri prescinde da ogni altra condizione, da ogni forma di antropocentrismo e di geocentrismo, da ogni tipo di vita e di universo, fisico ed iperfisico, prescinde da ogni intuizione del tempo e dello spazio (. . . ). Essa è intrinsecamente universale; vale per gli uomini e per gli Dei; può essere studiata nel natio borgo selvaggio e può essere insegnata nella Città del Sole. Questa scienza, ossia il complesso delle proprietà dei numeri, può essere appresa e posseduta da tutti quegli esseri, umani o no, che siano dotati di congrue facoltà intellettive, come ad esempio il raziocinio, oppure l'intuizione oppure altri sensi speciali e trascendenti. L'aritmetica non è né intuitiva né razionale, essa è semplicemente aritmetica. Ma, si capisce, non è ammissibile che il risultato raggiunto con l'intuizione sia in contrasto con il risultato raggiunto con la logica; se questo accadesse vorrebbe dire che si è commesso un errore; se tra i due risultati vi è differenza senza esservi opposizione vuol dire che uno almeno dei risultati è parziale."

"L'aritmetica ha bisogno soltanto della nozione dell'ordine nella successione dei numeri naturali. Questa successione è essenzialmente discontinua, discreta, ed intrinsecamente ordinata. Si passa da un elemento mediante l'aggiunta di un quantum che è l'unità"

"Le altre tre scienze del quadrivio pitagorico: la geometria, la musica e la sferica (od astronomia sferica) hanno bisogno di una intuizione del tempo e dello spazio con le relative determinazioni del punto geometrico, dell'attimo e dell'atomo materiale. L'arduo problema della continuità e della discontinuità che è inerente a queste determinazioni non tocca l'aritmetica e si affaccia storicamente in geometria nella scoperta (pitagorica) della incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato."

"Quanto alle altre scienze del trivio: la grammatica, la logica o dialettica e la retorica esse sono nettamente inferiori all'aritmetica e alle altre scienze del quadrivio perché sono scienze umane o quasi; esse si riferiscono alle facoltà intellettuali umane, al pensiero e al linguaggio indicati entrambi dalla parola Logos. Premesse queste scienze umane, la prima del quadrivio è l'aritmetica, la sola che basta a sé stessa"

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Per chi fosse interessato: è uscito il terzo volume dell'opera in 7 libri "Dei Numeri Pitagorici" di Arturo Reghini, per le edizioni Arché-Pi Zeta. Si tratta di un'opera dal carattere interamente matematico, dedicata ai numeri figurati; in questo volume in particolare si tratta in modo molto approfondito dei numeri eteromechi, promechi, triangolari, quadrati, piramidali a base triangolare, piramidali a base quadrata, cubici, laterali e diametrali, equazione pitagorica e di molte altre cose ancora tra cui un interessante accostamento tra la tetractis e la struttura molecolare di alcuni corpi.
I restanti 4 volumi sono ancora inediti.

[Indra88]

non ho mai approfondito reghini anche se ho un libretto suo(forse degli apunti sparsi), so che ad un certo punto ruppe con evola ma non ricordo bene il motivo della disputa, ancora oggi atanor mi pare abbia un taglio polemico verso le posizioni evoliane

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non ho mai approfondito reghini anche se ho un libretto suo(forse degli apunti sparsi), so che ad un certo punto ruppe con evola ma non ricordo bene il motivo della disputa, ancora oggi atanor mi pare abbia un taglio polemico verso le posizioni evoliane

Ma l'argomento di questa discussione non è la nota polemica giovanile Evola - Reghini ( l'Evola maturo, nel suo Il cammino del Cinabro, ebbe parole buone nel ricordare il suo vecchio amico) , bensì il Reghini matematico.

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Il primo libro dell’opera si intitola:

Dell'equazione indeterminata di secondo grado con due incognite , ed è stato pubblicato a Milano per Archè/PiZeta nel 2006.

L'argomento sviluppato nel primo libro è il problema della risoluzione dell'equazione generale di secondo grado a valori interi con due incognite x,y intere, equazione cioè del tipo:
ax^2 +by^2 +cxy+dx+ey+f=0;
il vincolo che x e y siano sempre interi rende la risoluzione di queste equazioni (quando ammettono soluzione) non sempre immediata; dopo aver analizzato una serie di casi di facile o comunque accessibile soluzione, per tutti gli altri casi Reghini si riconduce ad un’equazione di tipo Pell, ossia del tipo x^2 –D^y2 = N con (x,y) rigorosamente interi. Questo è il vincolo che rende queste equazioni non sempre semplici da risolvere. Reghini analizza poi anche il caso che vede x, y seminteri.

Tra i metodi oggi conosciuti per raggiungere questo scopo si possono annoverare diversi approcci:
a) Metodi di cosiddetta “forza bruta”, cui si può ricondurre anche l’interessante metodo Reghiniano
b) Il metodo di Lagrange delle frazioni continue
c) Il metodo di Lagrange delle riduzioni successive
d) Il metodo ciclico
e) Il metodo delle forme quadratiche binarie

Reghini conosceva molto bene l’esistenza di diversi metodi per risolvere questo tipo di equazioni, ma a lui interessava trovare una strada che non facesse uso dei numeri complessi e che non passasse per l’uso delle forme quadratiche binarie; in sostanza voleva dimostrare l’esistenza di un metodo relativamente semplice che, in linea di principio, avrebbe potuto essere accessibile anche agli antichi. Il risultato è il metodo esposto nel primo libro, scritto negli anni ’30 del secolo scorso. Ora, oggi questo metodo non appare nuovo, in quanto riconducibile alla famiglia a) di cui sopra. Ma la questione interessante che sarebbe degna di indagine da parte di uno storico della matematica professionista è: era conosciuto o meno negli anni ’30? A me sembra di no, quindi è possibile che Reghini sia stato il primo a svilupparlo o perlomeno a sistematizzarlo; tuttavia un’indagine più approfondita sarebbe auspicabile; potrebbe anche essere oggetto di una tesi o tesina di laurea in matematica ad indirizzo storico-didattico.

Tornando alla x^2 –D^y2 = N , trovatene le soluzioni Reghini fornisce poi il metodo per tornare alla ax^2 +by^2 +cxy+dx+ey+f=0 di partenza e alle sue soluzioni, risolvendo quindi il problema di base del primo libro. Si dimostra che il metodo utilizzato da Reghini per "tornare indietro alla base" è corretto e completo, ossia non si perde delle soluzioni.

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Il secondo libro dell’opera si intitola “Delle soluzioni primitive dell'equazione di tipo Pell e del loro numero“, ed è stato pubblicato a Milano per le edizioni Archè/PiZeta nel 2012.

Nel secondo libro dell'opera "Dei Numeri Pitagorici " Reghini termina il lavoro propedeutico dedicato all'analisi indeterminata di secondo grado portando a compimento la cornice teorica già sviluppata nel primo libro e con ciò mantenendo fede all'intenzione che aveva espresso più di una volta ossia di “riportare la trattazione dell'aritmetica alla sua antica maniera ossia tornare agli inizi della teoria dei numeri“ , dato che , pensava, “si può considerare una irrisione che la matematica moderna debba ricorrere a nozioni di aritmetica superiore come la teoria delle congruenze e delle forme quadratiche per risolvere, o meglio tentare di risolvere, una equazione così semplice come la x^2 –Dy^2 = B.”

A mio parere questo è il lavoro più originale del Reghini matematico; qui infatti Reghini dimostra che esiste un numero finito di strutture ordinate capaci di dirci se un'equazione indeterminata a valori interi o semi interi di tipo Pell ammetta soluzione e, se sì, di fornirci indicazioni sul numero e sul tipo delle soluzioni primitive ammesse.
I tempi di Arturo Reghini erano ancora i tempi i cui i matematici valevano anche per la loro capacità di effettuare calcoli complessi manualmente o mentalmente e quindi il nostro, spinto dall’esigenza pratica di sapere , prima ancora di risolverla, se una determinata equazione di tipo Pell ammettesse soluzione e se sì quante ne ammettesse, percorre la strada di classificare i numeri primi in famiglie utili a fornire le indicazioni cercate.
Per cui, data la x^2 –Dy^2 = P, fattorizzando P e D e studiandone la forma e le combinazioni dei vari fattori primi, se alcune condizioni si verificano si riesce a sapere in anticipo se l’equazione ammette soluzione e se sì, anche forma e numero delle soluzioni ammesse. Naturalmente si intende sempre soluzioni intere (o al più semintere). Vengono forniti e dimostrati numerosi teoremi in merito.

Probabilmente oggi questa parte dell’opera sarebbe di scarso interesse pratico, dato che i moderni calcolatori elettronici offrono ormai elevatissime prestazioni di calcolo; tuttavia resta l’interesse teorico per l’originale via battuta , che si salda perfettamente con il metodo “semplice” sviluppato nel primo libro, delineando quindi la possibilità di affrontare e risolvere queste equazioni con mezzi che sarebbero stati concettualmente alla portata degli antichi, in linea di principio. E’ un lavoro di grande fascino, che a mio parere meriterebbe un approfondimento teorico e storico.