Geometria non-euclidea

[claddav]

Com'è noto la geometria euclidea si basa sull'assunto che data una linea retta esiste una e una sola retta parallela alla retta data. Siccome questo non è possibile derivarlo dai primi quattro assiomi (o "postulati di Euclide") si sono sviluppate geometrie non-euclidee, formalmente valide. Mi domandavo però se tutto non sia dovuto al fatto che è difficile definire che cosa sia in realtà una linea retta. Le illustrazioni che ho trovato riguardo alle geometrie non-euclidee sembrano rappresentare tutte linee rette in qualche modo curve, contararie alla comune percezione di una linea retta come "linea diritta". Ma come si fa a dimostrare geometricamente la dirittura di una linea retta?

Ti sono già state date alcuni risposte esaurienti , provo a dartene una forse più articolata.

Il V postulato di euclide nella tradizione consolidata dice che:

"Per un punto passa una ed una sola parallela ad una retta data"

mentre l'enunciato originale (meno restrittivo) è

"Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti."

In entrambi i casi la retta è un 'concetto primitivo' noto a priori , insieme a punto e piano e che per noi come tu dici noi facciamo coincidere con il concetto intuitivo di 'dritta'.

Ritornando alle geometrie non euclidee esse partono dalla sostituzione del V postulato con :

"Per un punto non passa nessuna retta parallela ad una retta data" per la geometria ellittica

"per un punto passano infinite rette parallele ad una retta data" per la iperbolica.

Classico esempio(come già Venom ti ha fatto notare) di geometria ellittica a due dimensioni è la superficie della sfera in cui le rette sono assimilate ai diametri (geodetiche) , i cui archi rappresentano i percorsi più brevi fra due punti e abbiamo infatti che per due punti passa un solo diametro.
Qui il concetto intuitivo di 'dirittura' si perde.

A questo link ho trovato una spiegazione non matematica della geometria sferica

http://users.libero.it/prof.lazzarin..._sfera/geo.htm


per quanto riguarda la tua ultima domanda

"Ma come si fa a dimostrare geometricamente la dirittura di una linea retta?"

Ritorno a dire che la retta nella geometria euclidea è un concetto primitivo quindi non solo non dimostrato ma neppure definito.

Nella geometria analitica , lo studio di funzioni che si fa negli ultimi anni delle superiori , il concetto di 'dirittura' è assimilabile alla costanza della prima derivata della funzione rappresentante la linea continua e nella fattispecie la retta.

[claddav]

Per la geometriq iperbolica ho trovato per chi è interessato questo link

http://www.cs.unm.edu/~joel/NonEucli...clid-full.jnlp

Con una applicazione che permette di simulare alcune proprietà

[Oli]

E' affascinante il concetto di geometria non euclidea. Come sempre siamo progionieri del senso comune e ci riesce difficile pensare a fenomeni fisici che non vediamo realizzarsi tutti i giorni, per esempio ciò che accade a velocità quantistiche. Così anche nella vita normale la geometria che ci pare più logica è quella euclidea.

[claddav]

E' affascinante il concetto di geometria non euclidea. Come sempre siamo progionieri del senso comune e ci riesce difficile pensare a fenomeni fisici che non vediamo realizzarsi tutti i giorni, per esempio ciò che accade a velocità quantistiche. Così anche nella vita normale la geometria che ci pare più logica è quella euclidea.

Se pensi allo sviluppo dell'uomo , dl suo cervello e al suo modo di interpretare la realtà non mi sembra strano che molte cose superino il nostro senso comune.
Ci siamo evoluti in un mondo a velocità non relativistiche , in cui le interazioni sono macroscopiche (non a livello quantistico) e quindi il nostro modo 'naturale' di pensare è 'adattato' a tale livello di 'realtà'

[Oli]

Tra l'altro pare che per il funzionamento di alcuni strumenti elettronici sia necessario tenere conto della curvatura dello spazio tempo e compensarla per avere un funzionamento ottimale. Mi riferiso ai navigatori GPS, per esempio, mi pare di avere letto da qualche parte.

[Venom]

Tra l'altro pare che per il funzionamento di alcuni strumenti elettronici sia necessario tenere conto della curvatura dello spazio tempo e compensarla per avere un funzionamento ottimale. Mi riferiso ai navigatori GPS, per esempio, mi pare di avere letto da qualche parte.

Esatto, ciò è dovuto alla velocità dei satelliti e al rallentamento del tempo sugli stessi rispetto la terra.
Comunque la geometria dello spaziotempo è una geometria pseudoeuclidea.

[claddav]

Esatto, ciò è dovuto alla velocità dei satelliti e al rallentamento del tempo sugli stessi rispetto la terra.
Comunque la geometria dello spaziotempo è una geometria pseudoeuclidea.

Per i GPS viene utilizzata sia la relatività speciale(velocità) che la generale(il satellite si trova in una zona del campo gravitazionale diversa da noi , quindi con una curvatura dello spazio-tempo , diversa).

Una delle prime prove della relatività generale , oltre a spiegare l'orbita di mercurio , è stata la prova della deflessione della luce proveniente dalle stelle da parte del sole (prova fatta durante una eclisse , osservando stelle in prossimità del sole).Nella relatività generale la luce va sempre 'dritta' ma è lo spazio-tempo che si 'curva'.

[uqbar]

E' affascinante il concetto di geometria non euclidea. Come sempre siamo progionieri del senso comune e ci riesce difficile pensare a fenomeni fisici che non vediamo realizzarsi tutti i giorni, per esempio ciò che accade a velocità quantistiche. Così anche nella vita normale la geometria che ci pare più logica è quella euclidea.

non solo la geometria euclidea è stata messa in discussione ma anche la fisica newtoniana galileana.
Ora, io sarei molto prudente a dare per assolutamente vere cose che ancora non hanno un conforto probatorio sufficiente.
Ad esempio la relatività einsteniana oltre ad essere posta in dubbio dalla fisica quantistica soffre di alcune falle poste in evidenza dalla sperimentazione tra particelle e antiparticelle (la cui interazione pare sia simultanea violando così la regola relativistica della costanza della velocità della luce).
Per quanto riguarda poi la geometria non euclidea anche qui sarei molto prudente e farei attenzione al fatto che gli enti geometrici classici come ad esempio le rette parallele o le figure tipiche (cerchio, triangolo, quadrato) sono "concetti" nel senso tecnico del termone cioè non esistono nella realtà fenomenica ma solo nella realtà delle idee e per questo godono del connotato della perfezione - caratteristica questa che invece difetta nella geometria non euclidea e che la pone a rischi e vizi propri della realtà fenomenica

[claddav]

non solo la geometria euclidea è stata messa in discussione ma anche la fisica newtoniana galileana.
Ora, io sarei molto prudente a dare per assolutamente vere cose che ancora non hanno un conforto probatorio sufficiente.
Ad esempio la relatività einsteniana oltre ad essere posta in dubbio dalla fisica quantistica soffre di alcune falle poste in evidenza dalla sperimentazione tra particelle e antiparticelle (la cui interazione pare sia simultanea violando così la regola relativistica della costanza della velocità della luce).
Per quanto riguarda poi la geometria non euclidea anche qui sarei molto prudente e farei attenzione al fatto che gli enti geometrici classici come ad esempio le rette parallele o le figure tipiche (cerchio, triangolo, quadrato) sono "concetti" nel senso tecnico del termone cioè non esistono nella realtà fenomenica ma solo nella realtà delle idee e per questo godono del connotato della perfezione - caratteristica questa che invece difetta nella geometria non euclidea e che la pone a rischi e vizi propri della realtà fenomenica

Nel forum filosofia abbiamo impropriamente , e forse per colpa mia avviato una discussione che prende alcuni degli argomenti da te trattati.

La relatività generale e la meccanica quantistica sono due teorie complementari con diversi ambiti di applicazione , entrambe hanno avuto nel loro ambito verifiche sperimentali altamente significative (uno su 10 alla 12 come approssimazione) ma sono da un punto di vista matematico e nei loro termini metafisici(vedi continuo e discreto) inconciliabili.
Tentativi per produrre una teoria di sintesi che possa sostituire entrambe o ricondurre una all'altra se ne stanno facendo da un bel po ma con scarsi successi a causa anche della notevole precisione delle previsioni delle due teorie.(teoria delle stringhe , gravità quantistica a loop , ecc.)
Sostituire una teoria che ha ottenuto ottime conferme sperimentali è ovviamente più difficile.
D'altra parte la sostituzione di una teoria con un'altra non comporta il mancato utilizzo dei risultati della teoria sostituita se questi risultano ancora idonei al campo di applicazione , in caso contrario saremmo costretti ad esempio ad insegnare a tutti gli ingegneri la relatività generale e la MQ e non la meccanica classica o l'elettromagnetismo classico.

La problematica fra entanglement di particelle e relatività speciale è trattata nell'ultimo numero(maggio) delle scienze.
Il problema è ancora aperto , secondo alcune interpretazioni degli esperimenti di Aspect ed altri la relatività speciale non è violata visto che non vi è trasferimento simultaneo di informazione e o di materia(energia).
Per altri non è così sicuro.