Numerazione decimale

[Marximiliano]

Probabilmente il sistema binario è scomodo se devi scrivere numeri piuttosto grandi. Il sistema decimale in fondo ti permette di scrivere numeri piuttosto grandi con una notazione compatta, il che è un indubbio vantaggio

[don Peppe]

Secondo voi perché si è diffuso il sistema di numerazione in base dieci. Perché abbiamo dieci dita? Secondo me il sistema più logico sarebbe quello in base due.

perché prima che gli altri popoli avessero nozioni evolute di matematica, i sumeri incominciarono ad utilizzare la numerazione su base dieci, in seguito la matematica si è evoluta in altri paesi del mondo, ma partendo dagli studi iniziati dai sumeri.
Lo stesso motivo per cui dividiamo il tempo id giorni di ventiquattro ore divise in sessanta minuti a sua vota divisi in sessanta secondi, suddivisione creata per la prima volta dai sumeri

[Tular]

Generalmente si accetta l'idea che le popolazioni di lingua celtica contassero in base venti, cosa ancora evidente nelle lingue celtiche ancora esistenti e nel francese, che celtico non è ma è in fondo latino parlato da gente che aveva in origine una lingua celtica. Vedi quatre-vingts= ottanta, quatre-vingt-dix= novanta etc.

Per contare in passato si usavano i sistemi più svariati, di solito contando anche le falangi oltre che le punte delle dita, quindi abbiamo 20, oppure anche falangi+falangine+falangette col pollice mobile che funge da contatore il che significa 12 per ogni mano.

I cinesi invece si sono concentrati maggiormente sul sistema binario come è noto; tutto il sistema di trigrammi ed esagrammi è binario; ma il sistema binario è molto scomodo per rappresentare i numeri, perché richiede molte cifre e quindi non è il massimo per fare i conti a mano.

Comunque una risposta a Sentenza io ce l'avrei, da prendere sempre cum grano salis (senza cioè fissarsi su questi bei rapporti aritmetici):

Considera il fatto che 1+2+3+4=10, ossai il quarto numero triangolare è 10 (la tetraktys).
Considera il fatto che 1+3+6=10, ossia il terzo numero tetraedrico (figura delimitata da 4 superfici) è 10. Il tetraedro se vuoi lo puoi considerare un "atomo" di spazio, geometricamente parlando.

C'è un rapporto speciale tra il 3, il 4 ed il 10 (ma anche il 12) che risulta anche da altre considerazioni more pitagorico quindi relativamente ai numeri figurati, sempre cum grano salis.

Esempio:

Consideriamo tre numeri consecutivi a,b,c e chiediamoci se esistono, e se sì quali sono le terne di numeri figurati che verificano la relazione : a+b=c. Per comodità di discorso chiamiamo questa relazione “ritmo ternario”.
Si dimostra che, nel campo dei numeri lineari è verificata solamente da 1+2=3;
Nel campo dei numeri piani poligonali regolari essa è verificata solo dai numeri quadrati: Q3+Q4=Q5 (caso particolare del teorema di Pitagora);
nel campo dei numeri solidi, abbiamo due famiglie:
nel caso dei poliedri regolari abbiamo che il quinto ottaedro più il sesto ottaedro danno il settimo ottaedro: O(5)+O(6)=O(7); non ci sono altri casi poliedrici regolari;
Nel caso dei numeri piramidali a base poligonale regolare abbiamo che il quinto piramidale a base decagonale più il sesto piramidale a base decagonale danno il settimo piramidale a base decagonale Pd(5)+Pd(6)=Pd(7); non ci sono altri casi piramidali.
Schema riepilogativo del ritmo ternario:

LINEARE	PIANO	SOLIDO poliedrico	SOLIDO piramidale
1+2=3	Q3+Q4=Q5	O(5)+O(6)=O(7)	Pd(5)+Pd(6)=Pd(7)

In numeri:

LINEARE	PIANO	SOLIDO poliedrico	SOLIDO piramidale
1+2=3	9+16=25	85+146=231	175+301=476

Consideriamo adesso quattro numeri consecutivi a,b,c,d e chiediamoci se esistono, e se sì quali sono le quaterne di numeri figurati che verificano la relazione : a+b+c=d. Per comodità di discorso chiamiamo questa relazione “ritmo quaternario”.
Si dimostra che, nel campo dei numeri lineari questa relazione non è mai verificata;
Nel campo dei numeri piani poligonali regolari essa è verificata solo dai numeri Triangolari: T(1)+(T2)+T(3)=T(4)
Nel campo dei numeri solidi, abbiamo di nuovo due famiglie: nel caso dei poliedri regolari abbiamo che il terzo cubo più il quarto cubo più il quinto cubo danno il sesto cubo: C(3)+C(4)+C(5)=C(6); non ci sono altri casi poliedrici regolari;
nel caso dei numeri piramidali a base poligonale regolare abbiamo che il terzo piramidale a base dodecagonale più il quarto piramidale a base dodecagonale più il quinto piramidale a base dodecagonale danno il sesto piramidale a base dodecagonale: Pg(3)+Pg(4)+Pg(5)=Pg(6) ; non ci sono altri casi piramidali.

Schema riepilogativo del ritmo quaternario:

LINEARE	PIANO	SOLIDO poliedrico	SOLIDO piramidale
Non presente	T(1)+(T2)+T(3)=T(4)	C(3)+C(4)+C(5)=C(6)	Pg(3)+Pg(4)+Pg(5)=Pg(6)

In numeri:

LINEARE	PIANO	SOLIDO poliedrico	SOLIDO piramidale
Non presente	1+3+6=10	27+64+125=216	46+110+215=371

Ho scritto tutto a mano, spero di non aver commesso errori di battitura.
Ciao.

[Tular]

Quindi in sintesi:
Considerazioni di tipo pratico legate alla facilità di conteggio hanno sicuramente portato alla scelta del numero dieci: le dieci dita della mano utili per i conteggi immediati; ma sempre considerazioni di tipo pratico, legate sempre alle varie parti delle dita, possono aver portato all’utilizzo di altre basi come la base 20 e la base 12 nei conteggi quotidiani; basi come il 10 o il 12 sono quindi migliori della base 2 o 60 nella pratica quotidiana del conteggio, specie di quello non scritto. Tracce di numerazioni in base 12 si ritrovano anche nella lingua inglese dove dopo 10 non si ricomincia con un-dici, do-dici , ma si prosegue con eleven e twelve, per poi ripartire con thir-teen etc.
Per chi utilizzava una rappresentazione posizionale del numero, basi non troppo elevate come il 10 o il 12 costituiscono un buon compromesso tra basi molto piccole come il 2 e basi già grandi come il 60; con la base 2 infatti, se si sceglie di rappresentare i numeri in modo posizionale, si è costretti a molte posizioni per rappresentare numeri relativamente piccoli, il che è uno svantaggio non da poco se si deve scrivere e calcolare a mano (non è uno svantaggio per i moderni calcolatori, ovviamente); con basi grandi come il 60 è il contrario, con poche posizioni si possono rappresentare numeri più grandi ma il prezzo da pagare è utilizzare un numero maggiore di simboli per rappresentare le cifre base.

D’altro canto se non si sceglie di rappresentare i numeri in modo posizionale il vantaggio che il 10 offre nei calcoli si perde; i romani per esempio non sfruttavano questo vantaggio in quanto rappresentavano i numeri in forma simbolica: la V=5 rappresenta in forma stilizzata il palmo di una mano estesa (pollice e mignolo che la delimitano formano una V), la X sono due V, una sopra ed una sotto ribaltata. Nel mondo mediterraneo, prima del sistema posizionale di rappresentare i numeri, si era scelta la strada (naturale) di rappresentarseli con dei sassolini, detti appunto in latino calculi. Ma così facendo sorge naturale il posizionare i sassi in varie forme, triangolari, quadrate o altro ed ecco nascere l’aritmetica dei numeri figurati tanto cara ai pitagorici, che probabilmente riprendevano tradizioni precedenti.

Ed ecco che siamo giunti all’ultimo possibile movente per la scelta del 10: un movente non pragmatico ma legato ad una visione del mondo. Per cui il riconoscere certe proprietà del 10 nell’ambito dei numeri figurati ( di cui ho dato solo qualche esempio) potrebbe aver rinforzato la scelta di questa base nel mondo mediterraneo, esattamente come la visione del mondo basata su yin e yang ha portato i cinesi a privilegiare la base 2.
In aggiunta a ciò: nel mondo antico era normale considerare il mondo fisico come immagine di archetipi non fisici e quindi non mi stupirei se qualcuno avesse ragionato così:
L’uomo ha 10 dita perché il 10 è un numero archetipico che gode sempre ed immutabilmente di certe proprietà in relazione allo spazio
Piuttosto che così: contiamo in base 10 perché abbiamo 10 dita.
Anche se naturalmente l’una cosa non esclude l’altra, ma nella mente di un antico anzi la rinforza.

[Sentenza]

Considerazioni interessanti quelle di Tular. Volevo comunque rimarcare che quello di considerare la base 2 come più naturale era comunque frutto di un mio errore: ho pensato che la cosa più normale sarebbe stata quella di associare i simboli dell'algebra booleana (che rappresentano condizioni) alla rappresentazione numerica. L'errore è stato quello di dimenticare che associando il simbolo al numero do un significato diverso al simbolo, che non rappresenterà più una condizione ma un valore. Allora a questo punto non c'è nessuna convenienza "oggettiva" nell'usare la base 2, ma entrano in gioco moltissimi fattori, come evidenziato anche da Tular.

[Tular]

Un'altra cosa simpatica nel giocare con le basi di numeri al fine di trovare delle rappresentazioni degli stessi che siano interessanti sotto un qualche aspetto si ottiene con la base 6, quindi considerando solamente le cifre 0,1,2,3,4,5 dopodiché si ha 10=6, 11=7, etc.
La cosa interessante è questa: poiché i numeri primi sono necessariamente tutti della forma 6k+1 o 6k-1 (ma chiaramente non tutti i numeri della forma 6k+1 e 6k-1 sono primi) allora se si sceglie la base 6 ne consegue che i numeri primi termineranno tutti o per 1 o per 5; chiaramente non tutti i numeri che terminano per 1 o per 5 (in base 6) sono primi.

Esempio: 11=7, 15=11, 21 = 13 e così via.

Parlando invece di logica booleana: certamente la scelta della rappresentazione in base 2 è stata una scelta felice che è ancora alla base di tutta la moderna informatica: molto divertenti sono i circuiti logici che si possono costruire al fine di ottenere le elaborazioni più disparate. Per costruire un circuito logico bastano carta, penna e le regole sotto mano, più il desiderio di giocare con queste cose, chiaramente (se si ha tempo).
Personalmente trovo però più affascinanti gli sviluppi ulteriori della logica, ad esempio quella modale che tiene conto di operatori per esprimere la necessità e la possibilità.

[Robert]

non conoscevo il sistema numerale cinese, adesso capisco la caratteristica di quella civiltà, che è la stasi (o anche solidità permanente se si vuole vedere il bicchiere mezzo pieno)

l'enorme quantità di simboli e l'enorme quantità di memoria che il sistema numerico binario e il sistema scritto ideografico richiedono rendono questi sistemi utilizzabili solo da una casta di specialisti mentre la massa, quella che potrebbe lavorare, studiare, produrre, competere ed applicare in maniera sistematica i ritrovati della scienza, resta o analfabeta o ad un livello di istruzione elementare

tutto il contrario di ciò che è avvenuto in Occidente, dove bastano pochi mesi ad un bimbo per imparare e far di conto, leggere e scrivere

è la differenza fra sistemi di comunivazione opachi e trasparenti, come spiegano gli studiosi

ed è pure la ragione per cui in Grecia e non in Cina si è sviluppata la democrazia

[Tular]

non conoscevo il sistema numerale cinese, adesso capisco la caratteristica di quella civiltà, che è la stasi (o anche solidità permanente se si vuole vedere il bicchiere mezzo pieno)

Una precisazione: non ho detto che il sistema di rappresentazione cinese dei numeri sia su base 2 (infatti non lo è, anche se ha comunque risentito molto della logica binaria nel calcolo: pari dispari, positivo negativo, bacchette rosse o nere, nodi bianchi o nodi neri etc) ma ho detto che il sistema (antichissimo) dei trigrammi e degli esagrammi è sicuramente su base 2. La logica yin yang portò a questo.

[Sentenza]

non conoscevo il sistema numerale cinese, adesso capisco la caratteristica di quella civiltà, che è la stasi (o anche solidità permanente se si vuole vedere il bicchiere mezzo pieno)

l'enorme quantità di simboli e l'enorme quantità di memoria che il sistema numerico binario e il sistema scritto ideografico richiedono rendono questi sistemi utilizzabili solo da una casta di specialisti mentre la massa, quella che potrebbe lavorare, studiare, produrre, competere ed applicare in maniera sistematica i ritrovati della scienza, resta o analfabeta o ad un livello di istruzione elementare

tutto il contrario di ciò che è avvenuto in Occidente, dove bastano pochi mesi ad un bimbo per imparare e far di conto, leggere e scrivere

è la differenza fra sistemi di comunivazione opachi e trasparenti, come spiegano gli studiosi

ed è pure la ragione per cui in Grecia e non in Cina si è sviluppata la democrazia

Vabbè ma in Grecia non è che si usassero i numeri arabi... I numeri come li conosciamo sono stati "inventati" in India e gli Arabi li portarono in Europa nel Medioevo (aggiungendoci lo zero).

[Tular]

Un'altro esempio di come il rappresentare un numero in un modo piuttosto che in un altro possa stimolare l'intuizione in un senso piuttosto che in un altro:

Torniamo al fatto che i numeri primi sono necessariamente di forma 6k+1 o 6k-1; intanto: perché? Perché compare questo modulo 6? Compare perché i primi due numeri primi (scusate il gioco di parole) sono 2 e 3 (l'1 si esclude sempre da queste considerazioni) e quindi il primo numero prodotto da numeri primi è 2*3=6, ecco perché.

Ora, se disponiamo i numeri in 6 colonne, così:

1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13....

Appare chiaro che i numeri che si trovano in colonna 2 o 4 o 6 non potranno essere mai primi perché pari. I numeri in colonna 3 non possono essere primi proprio perché multipli di 3; restano la colonna 1 (cioè 6k+1) e 5 (cioè 6k-1). chiaramente non tutti i numeri presenti in queste colonne sono primi, ma se un numero è primo sicuramente sta o in colonna 1 o in colonna 5; trovare un metodo per cui, dato un posto n in colonna 1 o in colonna 5 si sappia automaticamente se il numero è primo oppure no senza decomporlo significherebbe una svolta, chiaramente. Ma nessuno finora ha mai trovato un algoritmo che restituisca l'ennesimo numero primo, ammesso che tale algoritmo esista.

Il fatto che sia così difficile trovarlo si può intuire proprio partendo da una rappresentazione figurata dei numeri, secondo lo stile dei pitagorici.